Somme et produit des racines

Propriété
On considère l'équation du second degré  `ax^2 + bx + c = 0` , avec  \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) trois réels,  \(a\) non nul.
Si cette équation admet deux solutions réelles distinctes  `x_1`  et  `x_2` , alors :

                                                 \(\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}\)       et       \(\boxed{x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}}\) .

Remarque
Cette propriété permet de trouver les solutions d'une équation du second degré sans avoir à calculer `\Delta` .
On rappelle que les racines d'une fonction du second degré sont les réels annulant la fonction.

 Démonstration
On considère la fonction polynôme du second degré  \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)  ayant deux racines distinctes  `x_1`  et  `x_2` . Alors, il existe \(a\) , un réel non nul, tel que `f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)` .
En développant puis en factorisant :
`\begin{align*}f(x) & = a(x-x_1)(x-x_2) \\& = a\left(x^2 - x \times x_1 - x \times x_2 + x_1 \times x_2 \right) \\& = ax^2 - x\left(a x_1+ a x_2\right) +a x_1 x_2 \\& = ax^2 + x(-a)( x_1+ x_2) +a x_1 x_2\end{align*}`
Alors, par identification avec la forme développée,
`b = -a(x_1+x_2)` , soit \(x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}\)  et
`c = ax_1x_2` , soit `x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}` .